工程流体力学：第六章 粘性流体动力学基础

      第六章   粘性流体动力学基础

      ＊本章学习目标： 

      实际流体都是有粘性的，只有当粘性力与惯性力相比很小时，才能忽略粘性力而采用“理想流体”这个简单的理想模型。支配粘性流体运动的方程比理想流体的基本方程复杂得多，因此粘性流体动力学问题的求解比理想流体动力学问题更加复杂、困难。 

      本章的目的在于介绍粘性流体动力学的一些基本知识。  

      ＊本章学习内容：

         第一节　雷诺数（Re）--粘性对于流动的影响的大小的度量
         第二节　层流与湍流
　      第三节　牛顿流体的本构方程
　      第四节　纳维--斯托克斯方程
　      第五节　粘性流体运动的基本特征
　      第六节　粘性流体动力学的无量纲特征参数
　      第七节　关于N－S方程的求解途径
　      第八节　园管中的粘性不可压缩流体的定常层流流动（Hagen－Poiseuille流动）
　      第九节　库埃特（Couette流动）
　      第十节　极慢流动

      第一节　雷诺数（Re）--粘性对于流动的影响的大小的度量

      ＊粘性流体运动方程为：

      ● 在x方向的投影为：

      ● 这里以作为惯性力的代表：

      作为粘性力项的代表，其大小为。

      ●下面以圆球的粘性流体绕流为例，来估算作用在单位质量流体上的惯性力和粘性力的量阶：

      L为所研究问题的特征长度；为特征速度；为特征密度；为特征粘性系数。

      u的量阶为；的量阶为；的量阶为， 则：  
      作用在单位质量流体上的惯性力的量阶为： 
      作用在单位质量流体上的粘性力的量阶为：

      Re称为雷诺数（Reynolds数），它的物理意义是作用在流体上的惯性力与粘性力的比值的度量。

      Re数是粘性流体动力学中最重要的无量纲参数，它在粘性流体动力学中所占地位与无粘气体动力学的M数相当。

      在不同Re数范围内的粘性流体运动可以有完全不同的性质，下面以圆柱绕流为例看不同Re数范围内的圆柱绕流运动。

      总之：Re增加，粘性影响变弱，当Re>>1时，对于某些问题，如无分离绕流物体的升力问题，可忽略粘性影响，采用“理想流体”模型。当Re<<1时，可忽略惯性力。 

      第二节　层流与湍流

      ＊实验表明，粘性流体运动有两种不同的形态，即层流与湍流。1883年，Reynolds进行了一系列园管内粘性流体运动的实验（不同园管直径d，不同的粘性流体v，不同的流量也不同的平均速度V）。  

      ●由图可见：

      1）当（第一临界雷诺数） 

      现象：不论来流或外界的扰动多大，我们看到的是一条平行于管壁的光滑的有色流体线。
      此现象表明流体运动规则，各部分分层流动互不掺混，流体质点的迹线是光滑的，而且流场稳定，此种流动形态称为层流。  
      2）当（第二临界雷诺数）

      对于普通的园管，。

      现象：在这个雷诺数范围内，看到的是一条振荡的有色流体线，但它并不破散。从整体看，流动仍然处于稳定状态。

      此种流动形态称为“过渡形态”。

      应当指出，不是一个固定的数值，随着试验越来越仔细，例如园管入口处做得越光滑，尽量减少初始扰动的强度，园管内壁的粗糙度越小，越来越高，目前已可达到。    
      3）当 

      现象：有色流体细束突然破裂成许多运动的小旋涡，向外扩散，很快消失不见了，管内整个流体蒙上一层淡薄的颜色。

      此现象表明，流体运动极不规则，各部分流体相互剧烈掺混，流体质点的迹线杂乱无章，流场极不稳定。

      此种流动形态称为“湍流”。     

      ●雷诺实验的重要性：

      （1）揭示了粘性流体运动存在着两种截然不同的形态，即层流和湍流；
      （2）发现了区别粘性流体运动处于层流还是湍流形态的唯一的参数是Re数。 

      第三节　牛顿流体的本构方程

      为什么引入牛顿流体的本构方程：连续介质力学靠三大守恒定律得到的基本方程组是不封闭的，需要补充应力张量P和变形速率张量之间的关系，这是与物质结构有关的，通常称为“本构方程”。  

      ＊对于流体作直线层流运动的情况，有牛顿粘性公式：

      它建立了切向应力与剪切变形速率之间的关系。

      但是在实际遇到的流体中，一般说流体质点并不是作直线运动而是相当复杂的。在这种情况里，要在理论上或通过实验直接导出应力张量和变形速率张量之间的关系，目前是不可能的。

      流体力学中广泛采用的本构方程--广义牛顿定律是在下列三个假设的前提下用演绎法推导出来的，这三个假设是：

      　（1）运动流体中应力张量在运动停止后应趋于静止流体中的应力张量；
      　（2）偏应力张量的各分量是局部速度梯度张量各分量的线性齐次函数；
      　（3）流体是各向同性的。

      ＊由此三假设所演绎出的牛顿流体本构方程（广义牛顿公式）为： 

            
      其中： ，，

                   
      是流体的动力粘性系数；

      是容积粘性系数，也称第二粘性系数。除了高温和高频声波这些极端情况外，对于一般情况下的流体运动，可近似地认为。

      是平均法向应力的负值，但它与热力学中的平衡态压力具有不同的含义，目前并不能证明它们是相同的，但大量实际计算表明，在成立的大部分情况中，可以认为这两者实际上是相同的。  
      ＊对于不可压缩流体，广义牛顿公式可简化为：             
      ＊广义牛顿公式的应用范围：

      广义牛顿公式成立的基础是假设偏应力张量各分量和速度梯度张量各分量之间存在着线性关系，这意味着假定速度变化的二阶量以及二阶以上的高阶量可以忽略不计。粗看起来，这样的假设似乎只是对速度梯度比较小的缓慢运动才是对的。但实践表明，广义牛顿公式的适用范围远远超出人们所预料的范围，它不仅适用于超音速气流，甚至对于高超音速气流也是适用的，只有在物理量变化极端剧烈的激波层内，它的适用性才成问题。

      应力张量和变形速率张量之间满足广义牛顿公式的流体称为“牛顿流体”，否则称为“非牛顿流体”。

      常用的流体，如水及空气都是牛顿流体，但是也有一些流体，特别是化工系统中经常碰到的液体，在通常的工作条件下呈现出明显的非牛顿流体的特性。例如：油漆、颜料、橡胶、低温润滑油、血液等等。这些具有复杂分子结构，特别是具有长链分子结构的液体、溶液和混合物，其本构方程已不能用广义牛顿公式描述。 

      第四节　纳维--斯托克斯方程

      ＊在第四章中，从质量守恒原理、牛顿第二定律及能量守恒原理出发，得到如下流体力学微分形式的基本方程组： 

      在该方程组中独立的未知函数有：ρ，e，T，V，p_ij共12个标量，而方程个数只有5个，所以上述方程是不封闭的。需要补充流体的本构方程和热力学状态方程。  

     ＊对于牛顿流体的运动而言，可以补充牛顿流体的本构方程：

                   　
      则可以得到如下的连续方程、运动方程和能量方程。    
　     ● 1.连续方程：

　     ● 2.运动方程：  

      这是矢量形式的牛顿流体的运动方程，又称Navier－Stokes方程，它适用于任意惯性坐标系，它奠定了粘性流体动力学的基础。各项物理意义为：

      f――作用在单位质量流体上的质量力； 
      ――作用在单位质量流体上的压力合力； 
      ――作用在单位质量流体上的粘性体积膨胀力； 
      ――作用在单位质量流体上的粘性变形力。

      对于不可压缩流体而言，，并且一般可认为，则上述Navier－Stokes方程可简化为： 
　    ●3.能量方程： 

                  　
      --表面力在单位时间内对单位质量流体所作的功。

      上述能量方程经适当改造，可导出以热力学第一定律形式表示出来的能量方程：

                         
      以熵的形式表示的粘性牛顿流体的能量方程：

                         
      以焓的形式表示的粘性牛顿流体的能量方程：

                        
      其中：，为耗散函数。 

      第五节　粘性流体运动的基本特征

      1.机械能的耗散性： 

      在能量方程中是表面力在单位时间内对单位质量流体所作的功，它可分成如下形式：

             
      --用以增加流体宏观运动的动能；
      --在平衡状态下，对流体作的可逆膨胀功；
      --粘性耗散功，它变成热能，使内能增加，同时导致熵增。

      由此可见，在粘性流体运动中，由于粘性应力的存在，表面力作的功只有一部分变成动能，而有一部分则被粘性应力耗损掉变成了热能，后者是不可逆过程导致熵的增加。  

      2.粘性流体运动的有旋性：

      现以不可压缩粘性运动为例说明之：

      此时运动方程为：  

      现用反证法证明之。

      假定流动无旋，即，此时N－S方程退化为Euler方程。也即由二阶偏微分方程退化为一阶偏微分方程，但物面上的运动学条件却仍然要满足粘性流体的速度无滑移条件，比求解Euler方程（理想流体的运动方程）时所需要的边界条件多了一个切向速度连续条件，在一般情况下将无解，只有在极个别情况（切向速度连续条件自动满足的情况）下才可能有解，这就从反面证明了粘性不可压缩流体的有旋性。

      由此知，粘性不可压缩流体的无旋运动一般说来得不到解，它不能满足物面边界上的无滑移条件，这意味着粘性流体运动中的旋涡是由于粘性流体在物面上的黏附边界条件引起的。因此一般说来，可以预料，在粘性流体运动中，壁面附近的区域中具有大的涡量，而在远离壁面的区域中，流动是接近无旋的。  

      3.粘性流体中旋涡的扩散性：

      现以粘性不可压缩流体的运动为例说明之，并假定质量力有势。此时运动方程为：

                         
      对上式两端作旋度运算，整理可得如下的涡量输运方程：

                        
      它在笛卡儿坐标系中的表达式为：

      下面对上式进行两点讨论：

      1、当时v=0，上式就是理想不可压缩流体运动的海姆霍兹公式，由它可推出：涡线及涡管的保持性。即旋涡随着流体质点一起移动。旋涡没有扩散。

      2、可以证明粘性的影响促使流体中的旋涡的强度趋于均匀，这个使旋涡均匀化的过程称为“涡的扩散”。 

      第六节　粘性流体动力学的无量纲特征参数

      粘性流体运动的基本方程是一个复杂的二阶非线性偏微分方程，除少数特殊情况外，一般很难求得这一方程的解析解。为了实用，人们往往根据问题在几何方面、动力学方面以及传热学方面的特征对方程进行简化，目的是略去方程中的次要项，保留主要项，然后对简化了的方程进行求解。

      为了保证判断方程中哪些项可以略去，哪些项必须保留，有必要把原有的方程无量纲化，这时在方程中出现一系列无量纲参数，对这些无量纲参数的数量级进行比较，就可以决定方程中各项的取舍。  

      1.特征物理量： 

      L₀--特征长度；                  　V₀--特征速度；
      t₀--特征时间；                  　p₀--特征压力；
      ρ₀--特征密度；                    T₀--特征温度；
       μ₀--特征粘性系数；             μ₀′--特征第二粘性系数；
      C_v0--特征等容比热；             C_F0 --特征等压比热
      λ₀--特征热传导系数；            g₀--特征重力； 
      α₀--特征声速；

      用上述特征参数就可以将粘性流体的基本方程方程无量纲化，在无量纲化方程中将出现以下无量纲的特征参数。  

      2.无量纲参数：

      （1）：它是与流场的不定常性有关的数。无量纲数称为斯特罗哈数，用St表示之：

      （2）：它是与流体的物性有关的数。利用状态方程有：

                              　
      式中：                                                                                                
      （3）：它是与流体运动状态及物性有关的物理量。利用声速公式，可得：

      其中：是气体动力学中重要的特征参数，反映了惯性力与压差力之比值；是声速。

      （4）：它是与重力加速度有关的物理量。人们称为佛罗德数：

                              　 
      表示惯性力与重力之比。

      （5）：它是与粘性有关的无量纲物理量。人们称为雷诺数：

      
                        　
      Reynolds数是粘性流体力学中重要的特征物理量，它表示惯性力与粘性力之比。
                                                                                               
      （6）：与热传导有关，它又可化为：

                              　
      其中：，称为普郎特数，它的物理意义是对流热与传导热之比。

      （7） Eckert 数：

                              　
      其中T_w为壁面温度。Eckert数是传热学中重要的特征物理量。

      （8）努赛尔数：

      数是表征物面热传导特性的无量纲参数，其中是边界上的特征热通量。

      第七节　关于N－S方程的求解途径

      粘性流体的基本方程组是一个二阶非线性偏微分方程组，对于粘性不可压缩流体的N-S方程而言，压力项及粘性性是线化的，而惯性项却是非线性的。这一非线性项的存在使得在解方程时，碰到很大的困难。

      在理想不可压缩流体的 Euler 方程，虽然也存在非线性的惯性项，但是因为相当一部分的实际问题是无旋的。对于无旋流动，问题可归结为求解线性的 Laplace 方程（运动学方程），速度势求出后，压力可由拉格朗日积分或伯努力积分求出（动力学问题），问题得到了很大的简化。

      但是粘性不可压缩流体的运动中，运动都是有旋的，因而也不存在拉格朗日积分或伯努力积分，因此不得不求解原始的二阶偏微分方程组。

      到目前为止，还没有求解非线性偏微分方程到普遍有效的方法，在流体力学中，求解上述非线性偏微分方程组通常有两种主要途径：  

      （1）准确解： 

      在一些简单到问题中，由于问题的特点，非线性的惯性项或者等于零，或者是非常简单的非线性方程组，此时基本方程组或者化为线性方程组，或者化为简单的非线性方程组，从而可以找出方程组的准确解来。但是具有准确解的问题为数很少，而且一般说来很少能直接地用到实际问题中去。  

      （2）近似解：

      根据问题到特点，略去方程中某些次要项，从而得出近似方程。在某些情况下，可以得出近似方程的解。这种途径称为近似方法，可采用近似方法求解的主要有下列两种情况：

      （a）小雷诺数Re情况，此时粘性力较惯性力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力得到简化的线性方程。

      （b）大雷诺数Re情况，若将粘性力全部略去，并且在物面上相应地提滑移边界条件，这就是理想流体的近似模型。在这个近似模型中无法求出符合实际的阻力。 进一步研究发现，在贴近物面很薄的一层“边界层”中，必须考虑粘性的影响，但此时根据问题的特点，可以略去粘性力中的某些项，从而得到简化的边界层方程（仍是非线性的）。而在边界层外，仍可将粘性全部忽略。这就是边界层理论，将在以后章节中介绍。

      对于中等雷诺数Re的情况，惯性力和粘性力都必须保留，此时只能通过其它途径简化问题，或者利用数值计算方法求N-S方程到数值解。以下将结合园管中和两块平行平板间的粘性不可压缩流体的定常层流流动来讲述准确解，结合圆球绕流问题介绍小雷诺数Re情况下的近似解。至于大Re数情况下的近似解将在以后的边界层理论中讲述。

      第八节　园管中的粘性不可压缩流体的定常层流流动（Hagen－Poiseuille流动）

      1.问题的提法： 

      今考察无限长水平园管内的粘性不可压缩流体的定常层流流动，假定质量力可略去不计。已知园管直径为D，某两个截面1－1和2－2上的压力p₁和p₂，欲求速度分布剖面、流量及管道中的阻力系数。  

      取固结于园管的柱坐标系 
      粘性不可压缩流体运动的基本方程在该坐标系中的表达式为：

      边界条件：

      由问题可知：
      速度的方向处处与z轴平行，即：；
      流动是轴对称的，即： 
      流动是定常的，即：

      于是问题可简化为： 

      边界条件：

      由此知，在这个问题中，非线性的惯性项自动消失。  

      2.求解： 

                  
      积分得：  
      再积分一次得： 
      根据物理上的考虑，在所考虑的流动区域中，速度应处处有界，所以有： 
      再由边界条件得：  
      于是本问题的解为：  

     ＊ 讨论：

      （1）各个不同截面上的速度分布都是相同的，都是抛物线分布；

      （2）最大速度在r=0处达到，且

      （3）平均速度

      （4）体积流量

      此为哈根――泊肃叶公式，可用来测定值。

      （5）沿程阻力系数，其中

      （6）如果是有限长园管，则只是在离进口截面一定距离后，流动才遵循上述规律。上述结果所代表的流动称为“完全发展的园管层流流动”。

      上述理论结果，无论在速度剖面、流量或阻力系数等方面都和实验结果十分符合。哈根--泊肃叶流动在流体力学理论发展史上有过不可磨灭的功绩，因为根据广义牛顿粘性公式写出的N-S方程，以及认为在固壁上粘性流体应该满足的粘性条件，在开始时并没有被大家所共认。只是在利用N-S方程及黏附性边界条件求出了园管中粘性不可压缩流体的准确解，并和实验结果非常符合之后，才肯定了广义牛顿粘性公式及黏附性边界条件的正确性。 

      第九节　库埃特（Couette流动）

      1.问题的提出： 

      今有两块水平的无限大的平行平板，它们间的距离为2h，两平板间充满着粘性不可压缩流体，假定质量力可忽略不计。

      已知：下平板固定不动，上平板以常速度U向右运动（如图所示），某两个横截面1－1和2－2上的压力分别为p₁和p₂，且流动是定常、层流流动。 欲求速度分布剖面，流量及切应力分布。   

      取相对于下平板不动的笛卡儿坐标系如图所示。

      粘性不可压缩流体运动的基本方程为：

                         
      边界条件： ，

      由问题可知： 

      速度的方向处处与x轴平行，即：；
      流动是平面的，即： 
      流动是定常的，即： 

      于是问题可简化为：

                    
      边界条件： ，  

      2.求解： 

                        
      积分得：  
      应用边界条件可得；

                              　
      于是本问题的解为：

      讨论：

      （1）各个不同横截面上的速度分布都是相同的，它由两部分组成，一部分是仅由压力降引起的速度的抛物线分布，另一部分是由于平板移动所引起的速度的线性分布。

      （2）应用牛顿切应力公式知：

      它由两部分组成：一部分是由压力降引起的切应力的线性分布（相应于速度的抛物线分布部分），另一部分是由上平面移动所引起的切应力为常数（相应于速度的线性分布部分）。

      （3）通过横截面（矩形截面，y方向高度为2h， z方向宽度为1）的体积流量为：

      （4）平均速度

      此类具有压力梯度的库埃特流动在润滑理论中具有一定的意义，因为轴承和轴套之间狭缝内的粘性流体运动具有和这类库埃特流动大体相同的特性。 

       3.今考察一种特殊情况：两块平板均固定不动，即U=0的情况。

      此时横截面上的速度分布为： 
      在y=0处达到最大速度，最大速度为， 
      体积流量为： 
      平均速度为： 
      切应力为： 
      最大切应力为： 
      沿程阻力系数：， 这里： 

      第十节　极慢流动

      这里讨论小Re数流动。如果我们所研究的问题中，特征速度V，特征长度L都很小，而流体的粘性系数v较大，则Re就很小。例如水滴、油雾、灰尘在空气中运动，固体微粒在油中运动等，又如粘性很大的流体在细管道或窄间隙中的低速流动问题（滑动轴承的润滑就属于这类问题）。

      Re数很小意味着粘性力的量阶比惯性力的量阶大得多，即此时粘性力对流动起主导作用，而惯性力则是次要因素。作为零级近似是将惯性力全部略去；作为一级近似则可保留非线性惯性项中的主要部分，而将次要部分略去，这样就可把基本方程简化成线性方程。 

      1. 斯托克斯方程：

      在极慢运动中，速度很小，Re数很小，于是可认为流体是不可压缩的，并全部略去惯性力，此时，基本方程简化为： 

      2.圆球绕流：

      无穷远处有速度为的粘性不可压缩来流绕过半径为α的圆球，求速度分布、压力分布及圆球所受阻力。  

      1）解：

      将座标原点放置在球心o上，取球座标系，且将θ的起算轴线z的方向取成与来流方向重合。

      从物理上容易看出，此流动是定常的，且对于轴是对称的，即有：

      ，，
      于是问题可归结为：（, 忽略质量力）