第七章 湍流
＊本章学习目标：
湍流流动状态在自然界和工程设备中是最常见的一类流动状态。由雷诺试验我们知道，湍流相对于层流而言，是一种复杂的不定常的随机流动。湍流理论到现在为止尚未达到成熟阶段，人们对于湍流的物理本质还不很清楚，以致要给湍流一词一确切的定义都很困难，目前湍流的研究沿着下列两条道路向前发展：
（1） 寻求若干最基本的物理定律以建立普遍适用的湍流理论；
（2） 在某些特定条件下，对观测到的流动现象作某些假设，从而建立有局限性的半经验理论。
＊本章学习内容：
第一节 湍流的统计平均法
第二节 湍流的基本方程
第三节 湍流及其计算概述
第四节 普朗特混合长度理论
第五节 管内湍流流动
第六节 管流阻力
第七节 局部阻力
第一节 湍流的统计平均法
一、湍流的随机性：
人们对于湍流的长期观察、测量，发现随机性是湍流的主要特性，湍流运动极不规则，极不稳定。湍流运动中任何物理量B随时间和空间随机地变化着。意即
这里B不是普通的函数，而是随机函数。它具有如下特性：
（1） 在任何一次试验中，在空间和时间上的变化是极不规则的，即使保持在相同的条件下重复试验，每次试验得到的
也均不相同。
（2） 在相同条件下进行很多次试验，任意取出其中足够多次的B场作算术平均，由此得到的函数与另外任取足够多次的场作算术平均得到的函数趋于一致。即任意一组B的算术平均趋于同一个确定的函数：
这里
不再是随机函数，而是一个确定的函数。
由上述可见，就随机现象而言，虽然个别试验的结果没有规律性，得不到“决定性”的结果；但大量试验结果的算术平均值是有一定规律性的，能够得出具有“决定性”的结果。 正因为湍流具有随机性，因此统计方法在湍流问题的研究中具有重要的意义。
二、研究湍流的统计平均方法：
在湍流理论中，目前有多种统计平均方法。例如时均法、体均法、按概率平均法。下面将分别予以讨论，然后在进行比较。
1、时均法
在湍流流场的某固定点上，于不同时刻测量该处的速度。以圆管轴上某一点的轴向流速为例，测出该点速度随时间的变化如图1所示。图中红线与蓝线表示两次试验结果。由图可见，每次试验的速度变化都极不规则，但是两次试验在相当长的时间内的平均值相同。显然，对于具有这种随机性质的湍流采用按时间平均的方法较为合适。
时均法的确切定义是
随机量的平均值符号规定如下：在这个量上加“-”表示平均值，在一横之上再加的符号表示平均的方法。例如，
表示随机速度按时间的平均值；
表示随机速度按体积的平均值；
表示随机速度按概率的平均值。
上式中的
是任一次试验结果，积分限中的下线t0可以任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。关于这一点，我们可以这样来理解。同一次试验中取不同起始时刻，相当于同条件下重复的不同试验，既然不同次试验的平均值都相等，那么不同起始时刻的平均值也应相等。上式中的积分区域T从理论上来说应趋向无限大，但在实用上，只要取足够长的有限时间间隔即可。
最后应当指出，时均法只能用来描述对时均值而言的定常湍流流动。
总之，应用时均法需满足下列要求：平均值与平均的起始时刻t0及时间间隔（只要足够长）T无关。而且平均值本身不再是时间的函数，因此，时均法只能用于讨论定常的湍流流动。
2、体均法
湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。若在湍流管流的轴线段上同时测量各点轴向速度的分布，在不同时刻可以测得不同速度分布，如图2所示。红线和蓝线是分别在两个时刻测得的结果。如图可见，任一时刻、在轴上的速度分布都是极不规则的，但是若在距离内求速度的平均值，则任意两次的试验结果有相同的平均值，显然，具有这种随机性质的湍流采用按体积平均的方法较为合适。
一维体均法的确切定义是：
式中
是在相同条件下任一次试验的速度分布，
是沿x方向L段上的
的平均值。x0是任意起始位置，L是足够长的距离。同样，我们应当注意到，要使
有意义，积分值必须与x0，L无关。
同理，我们可以定义空间意义上的平均。即体均法
式中
为包含某空间点
在内的足够大的体积。
称为
点处的体均值。体均值要求与积分体积
的大小及所处的坐标位置无关。因此严格说来，体均法只适用于描述对体均值而言的均匀的湍流流场。
3、概率平均法
时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者适用于定常湍流，后者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀湍流，可以采用随机变量的一般平均法，即概率平均法。
概率平均法的出发点是将重覆多次的试验结果做算术平均，即
式中
为第k次试验的流场分布函数，N为重复试验次数。由于问题的随机性，因此只要N足够大，上述平均函数必然趋向某一确定的函数。
上式又可写成概率分布的形式。我们把次试验中测得的速度
在
到
之间的次数记作△N，若N足够大，则根据概率的定义有
从物理概念和数学定义上来看，我们都可以相信
于是概率可写成
式中
称作概率密度。这样上式可写成
由此式可知，在N次试验中出现速度Vi到
之间的次数为
于是
因而按概率的定义，平均值可以写成
令
，则上式可写成
注意到
，因而可得到概率密度的附加条件
由上述分析可见，概率平均值取决于概率密度
。若能对某种湍流找到相应的概率密度，则湍流问题就可认为已经解决。但是由于湍流的基本单元的复杂性，目前还未找到湍流概率密度的基本方程。
三、三种平均法之间的关系及各态遍历假说
前面我们已经介绍了三种平均方法，但时均法和体均法只能用于各自特定的条件，概率平均法虽然普遍适用，但按照这种定义的平均值，很难直接测量（至少在目前还不可能），因此用这种方法建立的理论不能直接与实验结果相比较，而时均值或体均值可以实测。若能弄清楚在什么物理条件下，普遍适用的概率平均值和时均值或体均值等价，那么时均法和体均法的应用范围就可扩大，而用这两种方法建立的湍流平均值可以用实验来直接验证。
时均值和体均值都是任用一次试验结果（对时间或对空间）的平均值以代替大量试验的平均值。因此严格说来，时均法只适用于定常湍流，体均法只适用于均匀不定常湍流。然而，不论是对于时均法还是对于体均法而言，为什么任一次试验结果的平均值会等于大量试验的平均值？这个问题需要各态遍历假说来解释。
各态遍历假设的思想是：一个随机变量在重复许多次的试验中出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长的时间或相当大的空间范围内以相同的概率出现。可以用公式表示这个思想。若在N次试验中出现速度Vi到的次数为△N；在一次试验的T时间内出现Vi到的时间为△t；在一次试验的体积τ内出现Vi到的体积为△τ，则各态遍历假说认为
正是由于这个假说，为以一次试验结果的平均值代替大量试验的平均值提供了理论依据 从而使时均法和体均法具有更为普遍的意义。例如，对于非均匀的不定常湍流流场，严格说来，时均法和体均法都不能应用。但是，若不均匀性的空间尺度Lk较之湍流各态分布尺度（在此尺度内存在湍流各种状态）大得多，那么在比小Lk的尺度L中平均特性的变化可以忽略不计，而在尺度中包含了湍流的几乎所有状态，即在尺度L中湍流是各态遍历的。于是在尺度L中应用体均法所得到的平均值十分近似于随机变量的概率平均值。这种体均值在空间可以是变化的。可见，在各态遍历假说成立的前提下，可以用体均法研究非均匀湍流流场。类似地，若不定常湍流的时间尺度Tk比湍流本身的时间尺度大得多，则在比小Tk的T的尺度内平均特性的变化可以忽略不计，而在中包含了湍流的几乎所有状态，即在T尺度中是各态遍历的。于是在尺度T中应用时均法所得到的平均值十分近似于随机变量的概率平均值。这种时均值在时间上可以是变化的。所以，在各态遍历假说成立的前提下，可以用时均法研究不定常流动。
总之，各态遍历假说的结论是：对于一个满足各态遍历的系统，三种平均值相等
在本章各节中，凡未加说明者，都认为各态遍历假说成立。这样就可以在建立湍流理论时用概率平均值，而在和实验测量比较时，把这平均值看成是时均值或体均值。
四、脉动值及其性质
我们已经知道，湍流的瞬时速度是随机变量
而它的平均值
，
，
和是非随机变量，根据各态遍历假说，上述三种平均值相等。因此，在下面的叙述中平均值一律用表示。
随机值与平均值之差称为脉动值，并用“’”注明
脉动值是随机变量，平均值是统计的决定性变量，全部湍流理论就是研究脉动值和平均值之间的互相关系。脉动值与平均值具有下列性质。
（1） 平均值的平均仍为原平均值； 
（2） 脉动值的平均值等于零；
（3） 脉动值乘以常数的平均值等于零；
（4） 脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零；
（5） 湍流值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数；
（6） 脉动值各阶导数的平均值等于零。
第二节 湍流的基本方程
这里仅讨论不可压缩流体的湍流。
1.湍流的连续方程：
对上式作时均运算即得：
2.湍流的平均动量方程--雷诺方程：
Reynolds认为：湍流的真实速度场仍满足N-S方程。以此为前提，对N-S方程作时均化运算推导出Reynolds方程。
但关于这个前提--即湍流的真实速度场是否满足N-S方程的问题，从一开始直到现在一直是一个有争论的问题。
赞成者的理由：
1）N-S方程可以从分子运动的统计理论出发得到，因此不能认为湍流的真实速度场不服从分子运动的统计规律。
2）以N-S方程为基础建立起来的湍流理论在许多情况下与实验结果符合良好。
怀疑者的论据：
1） 以N-S方程为基础建立起来的湍流的基本方程组不封闭，因此至少仅仅以N-S方程作为湍流理论的基础是不充分的。
2） 以N-S方程为基础建立起来的湍流理论在某些情况下得出的结果与实验不符。
我们将回避这个争论。在尚未找到完整的经过实验证明的公认的湍流理论之前，我们只能默认N-S方程是湍流理论的基础。
不可压缩粘性流体N-S方程在笛卡儿座标系中的表达式为：
（其间应用了连续方程）
故有： 
对上式进行时均运算，应用脉动值的性质，可得：
或
这就是著名的“雷诺方程”。
各项的物理意义：
--单位质量流体平均运动动量的局部变化率；
--单位质量流体平均运动动量的迁移变化率；
--作用在单位质量流体上的质量力的平均值；
--作用在单位质量流体上的平均流动压力的合力；
--作用在单位质量流体上的平均流动粘性力的合力
以上各项与层流流动中各项相对应。
Reynolds方程中的最后一项中的
是一个二阶对称张量，称为雷诺应力张量，并以
表示，即：
则雷诺应力方程可写成如下形式：
或
其中：
平均流动的应力张量
雷诺应力张量或湍流应力张量
粘性不可压缩流体湍流运动基本方程在笛卡儿座标系中的表示式：
物面边界条件：
，
，
；
由此知，Reynolds方程和N-S方程的差别在于前者增加了雷诺应力的合力这一项。雷诺应力是未知量，正如粘性应力是未知量一样。对于粘性应力我们利用牛顿粘性公式把粘性应力张量和变形速率张量联系起来；对于雷诺应力也必须补充关于它的物理方程，才能使湍流方程组封闭。湍流理论的中心问题就是建立雷诺应力的物理方程。
这方面的理论工作主要沿着两个方向进行。一个方向是湍流的统计理论，试图利用统计数学的方法及概率来描绘流场，探讨脉动元的变化规律，研究湍流内部的结构从而建立湍流运动的封闭方程组。迄今为止只是在均匀各向同性湍流理论方面获得了一些比较满意的结果，但距离应用于实际问题还相差甚远。另一个方向是湍流的半经验理论，它是根据一些假设及实验结果建立湍流应力与平均速度梯度之间的关系从而建立起湍流运动的封闭方程组。半经验理论在理论上有很大的局限性和缺陷，但在一定条件下往往能够得出与实际符合得较满意的结果，因此在工程技术中得到广泛的应用。
第三节 湍流及其计算概述
湍流是一种高度复杂的非稳态三维流动。在湍流中流体各种物理参数，如速度、压力、温度等都随时间与空间发生随机的变化。 从物理结构上说，可以把湍流看成是由各种不同尺度的涡旋叠合而成的流动，这些涡旋的大小及旋转轴的方向分布是随机的。大尺度的涡旋主要由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，是引起低频脉动的原因，小尺度的涡旋主要是由粘性力所决定，其尺寸可能只有流场尺度的千分之一的量级，是引起高频脉动的原因。大尺度的涡旋破裂后形成小尺度的涡旋。较小尺度的涡旋破裂后形成更小尺度的涡旋。因而在充分发展的湍流区域内，流体涡旋的尺寸可在相当宽的范围内连续地变化。大尺度的涡旋不断地从主流获得能量，通过涡旋间的相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡旋传递。最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡旋不断消失，机械能就转化（或称耗散）为热能。同时，由于边界的作用、扰动及速度梯度的作用，新的涡旋又不断产生，这就构成了湍流运动。由于流体内不同尺度涡旋的随机运动造成了湍流的一个重要特点--物理量的脉动。一般认为，无论湍流运动多么复杂，非稳态的Navier－Stokes方程对于湍流的瞬时运动仍然是适用的。
关于湍流运动与换热的数值计算，是目前计算流体动力学与计算传热学中困难最多因而研究最活跃的领域之一。已经采用的计算方法可以大致分为以下三类：
1.完全模拟（直接模拟）：
这是用非稳态的Navier－Stokes方程来对湍流进行直接计算的方法。如果此法能成功地加以运用，则所得结果的误差就仅是一般数值计算所引起的那些误差，并且可以据需要而加以控制。但是要对高度复杂的湍流运动进行直接的数值计算，必须采用很小的时间与空间步长。有人估计要对湍流中的一个涡旋进行数值计算，至少要设置十个节点，这样对于在一个小尺度范围内进行的湍流运动，在1cm3的流场中可能要布置105节点。有文献曾对在一个较大尺度范围内的湍流运动的数值计算作过估计：当大涡尺度为104cm、小涡尺度1cm为左右的量级时，如果大涡的环流周期为60秒，为进行一个周期的数值计算需要104个时间步长、1012个节点，进行次1018运算。即使采用每秒为10亿次的计算机，也需要计算大约30年！显然，对于内存空间这样高的要求，远远超出了现阶段计算机所能提供的容量。目前，世界上只有少数能使用超级计算机的研究者才能对从层流到湍流的过渡区流动进行这种完全模拟的探索。据报道，有人曾在超级计算机CRAY－X－MP上用了许多机时，采用1283个节点对低数的流动作过这种数值模拟。
2.大涡旋模拟：
按照湍流的涡旋学说，湍流的脉动与混合主要是由大尺度的涡造成的。 大尺度的涡从主流中获得能量，它们是高度地非各向同性的。而且随流动的情形而异。大尺度的涡通过相互作用把能量传递给小尺度的涡。小尺度涡的主要作用是耗散能量，它们几乎是各向同性的，而且不同流动中的小尺度涡有许多共性。关于涡旋的上述认识就导致了大尺度涡模拟的数值解法。这种方法旨在用非稳态的Navier－Stokes方程来直接模拟大尺度涡，但不直接计算小尺度涡，小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。这种数值计算方法仍然需要比较大的计算机容量。
3.Reynolds（雷诺）时均方程法：
在这类方法里，将非稳态控制方程对时间作平均，在所得出的关于时均物理量的控制方程中包含了脉动量乘积的时均值等未知量，于是所得方程的个数就小于未知量的个数。而且不可能依靠进一步的时均处理而使控制方程组封闭。要使方程组封闭，必须作出假设，即建立模型。这种模型把未知的更高阶的时间平均值表示成较低阶的在计算中可以确定的量的函数。这是目前工程湍流计算中所采用的基本方法。
在Reynolds时均方程法中，又有Reynolds应力方程法及湍流粘性系数法两大类。前一种方法所需计算工作量较大，尚未达到便于工程应用的阶段。粘性系数法有零方程模型、一方程模型、两方程模式等，本节中我们只是简单介绍两种湍流模式。下节将着重讨论一种最简单的湍流粘性系数法--Prandtl混合长度理论及其应用。
a. 布西内斯克涡团粘度模式
布西内斯克（1877）涡团粘度模式是一种比拟的思想。把湍流微团的脉动比拟为分子运动的涨落；微团的平均速度比拟为分子的宏观平均速度；分子运动涨落产生的统计平均动量输运比拟为平均湍流脉动动量输运。在分子运动的统计理论中分子运动涨落产生的统计平均动量输运等于宏观的粘性应力；在湍流统计理论中，平均湍流脉动动量输运等于雷诺应力。因此，根据比拟的思想，由湍流脉动产生的雷诺应力封闭关系式，应当和分子运动产生的粘性应力有类同的形式。在上章中，我们已经导出牛顿流体的偏应力张量有以下的本构方程：
根据上述比拟的思想，雷诺应力
比拟为偏应力
，平均运动
比拟为宏观速度，于是有以下的不可压缩湍流运动的涡团粘度公式
这里
称为涡团粘度，
为平均切变率张量，k为湍动能。上式最后一项是为了满足不可压缩流体的连续方程，因为
，
式做张量收缩时，等式得以成立。虽然湍流雷诺应力的涡团粘度表达式
与牛顿型流体的本构关系式
形式上相同，但是vr不是介质的物性常数，它与湍流的平均场有关。
下面我们对简单的平衡流
通过量纲分析导出的一般表达式。首先vr应是湍流脉动速度量和脉动尺度的乘积：
式中
是脉动速度的特征量，l为脉动的特征尺度。代入
可得：
进一步由局部平衡关系：
和湍能耗散率的关系式
，可导出：
将
代入上式左边，就有：
，简化后得：
或涡团粘度的一般形式可以写作：
上式说明只要得到脉动尺度的表达式，就能得涡团粘度的关系式，这种简单的代数形式的涡粘模式称为普朗特混合长度模式，l称为混合长度，湍流的实验数据表明，脉动尺度与平均切变场有关，不同的平均切变场中，l具有不同的分布规律，例如在固壁附近：l=ky
y为距固壁面的垂直距离，k=0.4～0.41称为卡门常数，在湍射流或其它无界的自由湍流切变层中：
δ为自由切变层的特征厚度。
b. 湍动能－耗散率模式（k-ε模式）
涡团粘度模式的关键是确定合理的湍流脉动长度尺度，在简单涡团粘度模式中由实验结果作最佳拟合得到它的代数式，如l=ky、
。它们显然是经验性的，很难推广到比较复杂的平均切变流中。事实上脉动长度尺度是各种脉动成分尺度的平均值，通过对湍流脉动能量输运机制的研究，我们可以对做更好的近似公式。在上节我们从整体的能量平均中已经阐述过，湍流耗散主要在小尺度脉动，或者反过来说小尺度脉动占有绝大部分的耗散率；另一方面湍动能的输入主要来自平均场流动，因此属大尺度脉动，或者说大尺度脉动占有湍动能的绝大部分。这样从局部能量平衡状态来说，湍流脉动长度尺度可以由k（湍动能）与
（湍能散耗率）来估计。由量纲分析可以得到：脉动长度尺度具有和相同的量纲，即：
因此一般涡团粘度
可写作：
，或：
其中
为待定常数，用当地湍动能和湍能耗散来表示的涡团粘度模式称为
模式，为使
式封闭，应当有k、
的演化方程。推导湍动能和耗散率的演化方程是较为烦琐的演算，我们给出它们的常用形式而略去推导过程：
湍动能k的方程为：
方程右边的三项
分别称为湍动能的生成、扩散、”耗散”项，
耗散率的方程为：
方程左边是沿平均运动轨迹湍能散率的增长率，方程右边的三项
分别称为耗散率的生成、扩散、”耗散”项，这些项本身含有高阶的统计量，这些高阶统计量根据大量的实验数据和一些理论上的考虑可以分别写出它们的常用的经验关系式，最后模式
的封闭方程如下：
将以上方程与涡团粘度方程：
及雷诺平均方程、连续方程：
联立组成封闭方程组。其中含有常数
，它们需要用典型流动的实验结果和算例结果做最佳拟合来得到。目前常用的经验系数为
有了雷诺应力的封闭方程，我们可以通过求解雷诺平均方程得到平均流场。平均流场的边界条件提法和层流运动相同，不再重复。对于简单湍流运动，可以利用湍流模式得到解析解，而复杂湍流运动，需要应用计算机求数值解，这是目前工程中常用的预测复杂湍流运动的方程。
第四节 普朗特混合长度理论
1925年普朗特提出混合长度理论，它是剪切湍流
的模型。适用于湍流边界层、湍流射流和Couette等场合。
一、 混合长度理论
混合长度理论的基本思想是把宏观的流体微团的脉动运动和分子的微观运动进行类比。
分子微观运动产生的动量传递导致粘性应力。应用分子运动论可以建立粘性应力与速度梯度之间的关系：
流体微团的脉动运动产生的动量传递导致湍流应力，应用与分子运动论类似的方法可以建立湍流应力与平均运动速度梯度之间的关系：
现在我们来研究如下图所示的简单的平行流动。ox轴取在物面上，oy轴垂直向上。平均流速度
，它只是y的函数：
，而
。
讨论在平面
上的雷诺切应力：
Prandtl引进了一个与分子平均自由层相当
设位于
层处的具有平均速度为
的流体微团，由于偶然的横向脉动
，向下跑到y层处，在该处平均流速度突然变为
，速度差
就引起了纵向脉动速度，即
（这里讨论
的情况）
由此知：
与
异号，故
。
同样，设若位于
层处的具有平均速度为
的流体微团，由于偶然的横向脉动
，向上跑到y层处，在该处平均流速度突然变为
，速度差
就引起了纵向脉动速度：
此时，
与
也异号，故
若
，进行完全同样的分析可得如下结论：
与同号，故
。
总起来说，
与
同号。
所以有：
，
由前面分析知：
下面来估计
的量阶。
由上面的讨论知：两个流体微团由于横向脉动速度v′的作用分别从
层和
层进入y层，且它们以相对速度为
向相反方向运动。这两个流体微团相互远离的结果，就使得一部分空间空了出来。为了填补这个空间，四周流体微团纷纷流来，于是就产生了横向脉动速度v′。由上述横向脉动速度分量v′的产生过程知，
越大，空出来的空间越大，填空过程进行的速度也越快，即
越大，故
与
成正比，于是有
这里c是比例常数。
综上所述知：
这里：
，称为“混合长度”。
考虑到
与
同号，故有
或写成：
这里：
可见湍流粘性系数
与时均速度场有关。
应当指出，混合长度目前还是不确定的量，它将在不同的具体问题中通过新的假定及实验结果来决定。
最后应当指出，混合长度理论的基本出发点似乎比较容易接受，但是这种理论在物理上却隐含着严重的缺陷。因为分子自由运动与湍流脉动运动在形式上似乎相似，但它们之间有本质差别。分子运动的动能并非来自宏观流场，即分子运动与宏观运动之间并不存在动量及能量的交换，而湍流脉动流场与时均流场却存在着动量及能量的交换，故湍流粘性系数不仅与湍流脉动有关，并且与时均流场有关。
尽管混合长度理论在本质上有严重缺陷，但是，在某些情况下，只要对湍流粘性系数
略加修正就能与实验相吻合。因此到目前为止尚不失为一种有用的理论模型的基础。
二、 光滑壁面附近的完全发展湍流的速度分布
作为混合长度理论应用的例子，让我们来研究光滑壁面附近的完全发展湍流的速度分布。
光滑壁面的几何意义是指壁面的绝对光滑；完全发展的湍流是指处于层流的无条件不稳定区，而且不稳定性已经发展到含有许多随机涡的湍流，即沿平均流的方向湍流统计特性不变。
在半经验理论中，处理平壁面附近与管壁面附近流动的方法相同。因为这两种情况都是讨论近壁区内的流动，因此固壁的曲率可以忽略不计，于是管壁面可以看成是平壁面。为此本节只分析平壁面附近的速度分布。
首先让我们用量纲分析方法来分析光滑壁面附近的完全发展湍流的速度特征和应力特征，然后利用混合长度理论来分析速度分布规律。
我们把沿壁面的座标定为x，垂直于壁面的座标定为z，如图所示。
（一） 壁面附近湍流流动特征：
1. 速度分布特征
在完全发展的定常平面近壁湍流中，平均流具有下列特点
，
，
，
因此，从量纲分析的角度来看，壁面附近湍流区中的主定特征量包括：壁面切应力
，垂直于壁面的座标μ，流体的粘性系数ρ以及流体的密度 。近壁区中的速度
应是上述特征量的函数，即
若取
，μ，ρ为基本主定特征量，则根据量纲相关的分析，速度和长度特征量可表示为：
由于
是由壁面切应力
确定的，因此在近壁湍流中，
被称作摩擦速度，
被称作摩擦长度。于是速度与长度的无量纲量可写成
，
根据量纲分析定理，无量纲速度
只是无量纲长度
的函数，即
于是近壁区有量纲的速度分布公式可写成
2. 近壁区切应力特征
根据湍流时均值的连续方程、普朗特混合长度理论中湍流应力的计算公式及壁面条件
，可求得在整个流场中
。
在满足完全发展的定常平面近壁湍流的平均流特点及
的条件下，湍流基本方程式可写成：
积分之可得：
由此可见，在近壁区切应力为常数。此时又可写成 
二） 壁面附近湍流流动的速度分布
壁面附近的湍流可以分成三个区域来研究：近壁底层区；过渡区；湍流核心区。这三个区域的分界线可用
来表示：
的区域为近壁底层区；
的区域为湍流核心区；
的区域为过渡区。
将由实验来确定。
1. 近壁底层区速度分布
我们知道，在壁面上
，
，因此可以认为在紧靠壁面处w′总是小量，于是在紧靠壁面的近壁底层，雷诺应力相当于粘性应力为小量，即
所以在近壁底层可以忽略雷诺应力，这样近壁切应力可写成：
利用摩擦速度的表达式，上式又可写成：
由此可见，在近壁底层，速度为线性分布。积分上式，并利用条件
，可得：
此式是
的最简单的形式，上式又可写成：
2. 湍流核心区速度分布
在近壁底层以外，粘性切应力逐渐减少，而雷诺切应力逐渐增大。现在让我们研究这样的区域，在其中雷诺应力远大于粘性应力
这个区域称作湍流核心区。在湍流核心区中可以忽略粘性切应力。于是雷诺应力可写成：
根据混合长度理论知：
故壁面切应力可写成：
利用摩擦速度的定义，上式可写成：
因为w′在壁面上为零，于是普朗特提出假设：在接近壁面处混合长度与离壁面距离z成正比，即
代入摩擦速度的上述表达式，则有：
积分之可得 
式中
为常数。由上式可见，无量纲速度呈对数分布。令
，则上式可写成： 
式中常数k，c由实验方法来确定。
3. 过渡区
在过渡区中，由于粘性应力与雷诺应力具有相同量级，因此分析更加困难。在此区域中的速度分布主要由试验确定。
三） 尼古拉兹试验
近壁外层区速度分布公式中的常数k及c以及区域划分常数
都应由试验确定。
对于光滑壁面，近壁区的速度分布，曾有过许多次试验，其中比较精确的最早的试验结果由尼古拉兹于1932年在哥汀根所完成，以后的试验都证实了尼古拉兹当时所做的试验的结果是精确的。
尼古拉兹的试验是在光滑的直园管中做的，管流的
从4000到3.2×106，尼古拉兹试验曲线如左图所示，它证明了关于近壁区的速度线性分布及对数分布的正确性。
由此试验可确定区域划分常数：
：
，
由此试验还可确定在
范围内的对数分布曲线中的系数k，c：
，
于是在此区域中的速度分布公式可写成 
由尼古拉兹曲线还可以看出：
（1） 在
的区域中，速度分布可整理成下列形式
在此区域中，粘性切应力与雷诺应力具有相同量级；
（2） 在
之后的区域，实际分布与式
偏差较大。但若适当修改系数k，c则可以扩大对数公式的应用范围。通常取
，c=5.5
于是在
的整个区域中，速度分布公式可写成：
此式在
的区域中，与实验值存在偏差，但是这个偏差在工程计算中是许可的。
三、 粗糙壁面附近完全发展湍流速度分布：
从几何上来看，实际上并不存在绝对光滑的壁面，在放大50到100倍的显微镜下观察磨光的金属表面，仍然有下图所示的凹凸不平。
取表面凹、凸的平均高度作为绝对粗糙度，并记做h0，在
的条件下，即如左图a所示的情况，我们称这样的面为水力光滑面。在
的条件下，即如右图b所示的情况，我们称这样的面为水力粗糙面。
从流体力学的角度来看，水力光滑面对近壁流动没有影响，此时可把水力光滑面看成是几何光滑面；水力粗糙面对近壁流动有显著影响，这时在近壁底层速度已不是线性分布，在湍流核心区中速度分布的对数规律虽然有效，但其中系数已不同于光滑壁面公式
中的系数。
对湍流核心区速度分布
作如下整理：
即 
式中
是h0的函数：
尼古拉兹由粗糙园管的湍流试验得到了如下图所示的关于c′的经验曲线。
由上图可见，当
时，即当
或
时，上式中系数为
，c=5.5
即
代入粗糙管湍流核心区速度分布公式可得：
即
这个结果与光滑湍流核心区的速度的速度分布规律
相同。也就是说，在
的条件下，壁面粗糙度不影响湍流核心区中的速度分布，故人们把的粗糙面称作水力光滑面。
由上图可知，当
时，即当
或
时，粗糙管核心区湍流速度分布公式中系数为
，
则此时的粗糙管核心区湍流速度分布公式为：
这就是
条件下的粗糙管湍流核心区中速度分布公式。由此式可见，速度分布与摩擦厚度
无关。
四、 对混合长度理论的评价：
混合长度理论的优点是：
（1）雷诺应力的数学表达式比较简单，代入基本方程组后不必再附加其它方程；
（2） 混合长度理论是最早的湍流理论之一，因此在这方面积累了很多经验，根据这些经验可以选择合适的混合长度分布，从而能正确地预测剪切湍流中的速度分布。
混合长度理论有它的缺点，除在本节一开始指出的这个理论的天然缺陷以外，尚有下列缺点：
（a） 在混合长度理论中，雷诺应力可以写成式
所表示的形式，湍流粘性系数如式
所示，或可表示为
由此可以得出结论：在
的位置
上，而这个结论与实验及湍流一般理论都不符合。因为在
处，脉动场是相关的，此时
。
（b） 对于环形通道及有回流的情况，例如在湍流边界层的分离点附近，混合长度理论是失败的。
综上所述，混合长度理论有其局限性，尚待进一步改进。
在混合长度理论的基础上，改进的理论有脉动能量模型。
另外尚有完全抛弃混合长度理论的各种模型，它们从湍流结构的性质直接提出的新的模型，如上节介绍的
模型。
