工程流体力学：第九章 气体动力学基础（2）

      第五节　定常超声速气流绕凸角流动（普朗特－迈耶流动）

      1.流动现象：

      在斜激波理论中我们已经指出，当激波的偏转角很小时，斜激波可近似为马赫波。假设超声速气流绕小外折角的平面流动用弱激波公式来估算（这时转角为负值），结果得到激波后的压强小于激波前的压强，即负转角的斜激波时膨胀过程。前面已经讨论过：绝热膨胀过程不可能发生间断，因此超声速气流绕凸角流动一定是连续等熵流。无论时绕外折角或绕连续凸面的流动，气流是连续的发生转折和膨胀。普朗特和迈耶时最早研究这种超声速流动现象并得到解析解，因此这种流动又称为普朗特－迈耶流动。

      2. 普朗特－迈耶（P－M）流动关系式：

      我们来分析连续转折的超声速气流运动。均匀气流在某一直线开始发生膨胀转折，而后超声速气流绕凸角的平面流动，它通过一系列连续转折的马赫波完成等熵膨胀，因此连续转折的马赫波又称为马赫线或者膨胀波。下面是超声速气流通过一道微 
弱膨胀的P－M关系式的推演过程。

      取图9-20的控制体，设气流在马赫线上转折前后的微元夹角为，以逆时针转向V为正值。根据动量方程可知膨胀波前后平行于马赫线的速度切向分量相等，故有：
                    
      整理后得：
             
      已知马赫角和间有关系式：，因此： （*）

      上式给出了等熵膨胀过程的微元转折角和马赫数以及速度相对增长率之间的关系。进一步由能量方程消去，就可得到转折角和马赫数之间的关系。

      等熵过程的能量方程可表示为： 
      将上式对Ma求导数，得：
                  
      由该式进一步可导出如下：
            
      带入（*）式得：

      积分上式得：    
                                                                                　
      令，可确定常数C=0。由此得到的气流转角称为普朗特迈耶角，用v表示：
                  
      它的物理意义是：气流从到时的气流转折角。此关系式已经做成图表（见附录） 由上式可以得到超声速等熵膨胀转折的一些结论：

      ① 当，这是超声速等熵膨胀的最大转折角。对于常见的双原子气体，理想气体等熵膨胀到时，压强和绝对温度均为零。所以最大转折角可解释为的超声速气流绕一半无限长薄平板流动，薄板的下部压强等于零（图9-21），这时气流绕过平板边缘，它的最大转折角为，大于处将出现等于零的真空区。

      ② 上式中是单值函数：Ma从1增加到无限大时，值单调的从0增大到。若气流绕凸壁面连续膨胀，当已知凸壁面起始切线和终点切线的夹角，即气流的转角，我们可以利用函数式直接通过已知的和气流的转折角求出或者已知、求出气流转角。 

      第六节　完全气体在变截面绝热管内的准一维定常流动

      本节我们分析一个工程实用的问题：气体在变截面的管道中的绝热流动。这是一种高速气体流动，常用于火箭推进器等。作为一种工程设计方法，需要把世纪问题简化成易于分析计算的模型，同时又保留流动的主要性质。对于气体在变截面的管道中的绝热定常流动，工程中采用如下的简化模型。 

      1. 准一维定常绝热假定：

      气体在变截面的通道中流动时（如图9-23所示），假设流动参数在同一截面上时均匀的，只在流动方向发生变化，这种近似模型称为准一维假定。从几何边界条件来说：如果通道截面的变化率很小，就能满足一维近似的要求。具体来说，准一维近似要求：，其中L时通道的特征长度。

       如果外界没有热量的输入，气体流动过程也没有化学反应、蒸发等内部生成热，气体的粘度又很小，气体流动可以认为时理想绝热的。下面时我们给出的准一维定常绝热流动的分析和计算方法。

      2.准一维绝热定常流动基本方程：

      根据准一维定常流动假设，应用理想流体运动的基本方程可以导出一下准一维绝热定常流动方程：

      （1） 连续方程
             
      （2） 运动方程 
             
      （3） 能量方程 
       或者

      上式就是理想流体绝热定常流动沿流管的能量守恒方程：
       
      对于完全气体：
       
      若流动是连续的，也就没有激波间断时，绝热流动应是等熵的，因此还有：
      

      3.气体准一维定常等熵流动的主要性质： 

      （1）气体准一维定常等熵流动中，流速与截面积变化之间有如下的关系式：
       

      证明：将连续方程展开，可得：
             （*）
      将，代入动量方程式，可导出： 
      或       （**）

      将（**）式代入（*）式，可得下式：
            　（o）

      证毕：

      由此可得到气体准一维定常绝热连续（等熵）流动的以下性质：

      ① 气体的亚声速流动中（），截面积增加，流速减小；截面积减小，流速增加；这与不可压缩流动相似。

      ② 气体超声速流动中（），气体超声速一维等熵流中，截面积增加，气流加速；截面积减小，气流减速。这是气体超声速流动的故有特性。

      ③ 时，此时，就是说声速是截面积变化的极值点。在等熵流动中还可以证明它是截面积的极小值。如果管内流动达到声速，一定在最小截面处。

      4.应用：

      根据以上分析，我们可以定性的了解气体在变截面通道那可能的等熵流动。

      （1） 收缩通道流动

      亚声速定常等熵流在收缩通道中将加速，但始终保持亚声速；超声速定 常等熵流在收缩通道中将减速，但始终保持超声速。如图9-24所示。

  

      （2） 扩张通道流动

      亚声速定常等熵流在扩张通道中将减速，并保持亚声速；超声速气流在扩张通道中将加速，并始终保持超声速。如图9-25所示。  

      （3） 收缩扩张管流

      收缩扩张通道中气体等熵流动情况较简单收缩和扩张的流动复杂。 

      亚声速定常气流进入绝热收缩扩张通道时，根据性质（1）气流先加速，然后可能出现以下三种情况：（I）在最小截面处气流仍是亚声速，进入扩张段，气流减速，因此，全程是亚声速。（II）在收缩段加速，最小截面处达到声速，扩张段减速为亚声速。（III）亚声速气流在最小截面处达到声速，而通道出口压强较低，那么气流进入扩张段后将继续加速而达到超声速。可见亚声速气流在收缩扩张通道中的流动情况，取决于通道出口的压强和通道最小截面上的数。如图9-26所示。

      再考察超声速定常气流进入绝热收缩通道时的情况，根据性质（2）气流在收缩通道中必减速，而后可能发生三种情况：

（I）在收缩段先减速，在到达最小截面时，流动仍是超声速的，进入扩张通道后气流将变为加速，全程通道中时超声速气流。（II）如果超声速气流在最小截面处达到声速，但通道出口的压强较高，气流进入扩张段后继续减速，而成为亚声速。（III）超声速气流在收缩段减速，如果气流在最小截面处达到声速，而通道出口压强较低，那么气流进入扩张通道后将加速而达到超声速。如图9-27所示。

      5.流量公式与密流性质： 

      （1） 流量公式

      根据连续性条件，变截面管道那气体定常流动的质量流量在各截面处相等，故应有：
            （*）

      （2） 流量密度和性质

      定义： 单位面积上通过的质量流量称为流量密度，简称“密流”，即

      根据密流定义，从前面流量公式（*）可得流量密度与的关系式：
       
       气体定常等熵流动中密流有以下性质：

      ① 在相同的滞止状态下，时密流最大，由，可得为函数的极值点。而且可以证明，，因此时密流为极大值。如图9-28所示。

      从图9-28我们可以看到，在定常等熵流中，当（即亚声速）时，密流随Ma数增加而增大；在超声速流动情况下，密流随Ma增加而减小。   

      ② 临界截面A和堵塞流量

      定义：在变截面等熵定常流动的截面称为“临界截面”，用A表示。

      临界截面一定是最小截面，工程中常称为喉部。如果等熵定常气流在收缩扩张通道的最小截面处达到，根据密流极值的性质，此时通过收缩扩张通道的流量时给定滞止参数下的最大流量，称之为堵塞流量。最大可以由下式给出：
            （*）

      ③ 定常等熵流中截面积与Ma的关系。

      由连续方程：，并将流动参数的等熵关系式代入，可导出以下关系式：
      
      上式曲线表示于图9-29。

      图中可以看出，一个对应两个Ma，一个，一个，具体流动国策湖南国中对应哪个值，由流动的进出口的边界条件定。

      （3） 收缩喷管的工程计算

      利用流量公式（*）和等熵流的参数关系式可以计算气体准一维定常等熵流动。通常有两类计算问题（设计问题和运行问题，即所谓的反问题和正问题）。

      ① 设计问题：给定流量m，滞止参数和出口的马赫数（），求出口截面积A和压强步骤如下：

      第一步：利用等熵关系由给定的马赫数计算出出口压强P；
      第二步：用流量公式（*）给出出口截面积A 

      在设计问题中还可能给定流量m，出口马赫数，出口气体参数，要求计算滞止参数和出口截面积。设计步骤如下： 

      第一步：利用等熵关系由给定的马赫数计算滞止压强；
      第二步：用流量公式（*）计算出口截面积。

      ② 运行问题：已经设计好的喷管，在实际运行中出口压强因环境状态而改变，这时通过喷嘴的流动和设计状态不同。需要重新计算。其问题的提法是：

      给定出口截面积A、滞止参数和出口环境压强（工程上称为背压），要求计算通过喷嘴的流量m和出口的马赫数Ma。求解步骤如下：

      第一步：计算，并用等熵临界关系式判断出口截面是否为临界状态
      1.若出口截面，则出口Ma数必小于1，根据等熵流公式（Ma）计算出口Ma。
      2.若出口截面，则出口截面必为临界截面，出口截面上的马赫数为1，此时等熵流的临界压强。出口截面上的马赫数（下标e表示出口截面的状态）。    

      第二步：
      1.若出口，用公式（*）计算流量m；
      2.若出口为临界状态，用公式（*）’计算流量m；
      3.时，气流将在管外膨胀。

      在运行问题中当环境压强小于临界压强时，气流在管内只能膨胀到临界压强，因此出口截面上的压强大于出口外的环境压强。气体流出喷口后，还要继续膨胀，这种情况称为膨胀不足。如果喷管流动时平面等熵流动，气体在出口外膨胀可以通过使用P-M流的绕角流动关系式计算气流出口后的转折角，喷管出口外气流继续膨胀，并发生转折，因此流动不再是一维的。如图9-30所示。平面喷管出口外得流动比较复杂，其基本过程如下：气流经P-M流动膨胀后，气流边界呈扩张型；但是出口上下边缘发生得等熵膨胀产生得超声速气流得方向是不同的，于是再出口上下边缘发出得膨胀线得交点处将产生两道激波，通过斜激波后得两股气流又转向平行；然后斜激波得气流压强又高于环境压强，于是斜激波和气流边界交点处又发生P-M膨胀波；气流在出口后经历反复膨胀和压缩直到气流演化为亚声速射流。以上过程部分示意于图9-30，详细的计算方法可以参考气体力学的书籍。

      6.拉瓦尔（LavaL）喷管内定常绝热流动： 

      （1） 设计问题：

      给定流量m，出口马赫数，要求计算出口压强P和出口截面积A。步骤如下：
      第一步：利用等熵关系根据给定的马赫数计算出口压强P
      第二步：用流量公式（*）计算面积A（x）
      第三步：特别要准确的计算喉部截面积，由出口马赫数和出口截面积计算喉部面积。

      （2） 运行问题：

      需要解决的问题是：给定气体的滞止参数，喷管的临界截面积A*，出口截面积A和出口环境压强（背压），求通过喷管的流量和出口的马赫数。为了更好的理解收缩－扩张喷管中的气流，可分为以下几种特殊情况。

      收缩扩张喷管中的超声速定常绝热管流比较复杂，在讨论变工况之前，我们首先分析几种典型流动工况时喷管出口截面的压强。（出口截面参数用下标‘e’表示，环境压强用表示，喉部的截面流动参数用下标‘t’表示。）

      ① 几个特征压强

      第一种特定的流动工况是：管内完全是等熵亚声速流动，喉部，收缩段和扩张段都是亚声速流动，这时出口压强用表示。如图9-31上的②。 

      第二种特定的流动工况是：管内完全等熵流动，喉部喉部，收缩段是亚声速，扩张段是超声速，这时出口压强用表示。如图9-31上的⑥。   

      第三种特定的流动工况是：出口截面前流动完全等熵，但刚好出口截面上产生一道正激波，这时激波前压强等于，激波后压强用表示，如图9-31上的④。 

      我们用上述三个压强将流动分成I，II，III，IV四种工况。 

      ② 流动分析

      工况I：>，全管亚声速流动，此时，出口的压强，通过喷嘴的流量由环境压强决定，对背压很敏感。

      工况II：>>，管内出现正激波。正激波后为亚声速流动，在扩张通道中亚声速流动是增压减速的，所以气流到达出口时，，这种工况中背压越高，正激波的位置越靠近上游。喉部始终是声速，流量为常数，不受背压影响。

      工况III：>>全管为超声速流动，出口截面上部出现正激波，而且在出口截面上的压强，称为膨胀过度。管内的流动不受变化的影响。由于气流流出喷管后发生压缩。我们知道超声速压缩会产生激波，现在已知激波前后的压强比大于1，激波前的马赫数，可以确定激波的特性了。

      工况IV：<管内的流动不受变化的影响，出口截面上。管内全部是等熵流动。由于也属于膨胀不足的情况，气流流出喷管后继续膨胀。对于平面喷管，喷管外的流动可以应用P－M流动和激波理论分析和计算出口外的膨胀-压缩-膨胀-压缩的过程，其基本情况和收缩喷管膨胀不足的情况相同。

      以上讨论的各种流动可图示如下（图9-32）：